现在是最好的时代

初中的时候，我在某本参考书里，见过一个十分优雅的命题：三角形的外心与内心之间的距离，可以只用两个圆的半径来表达。

设三角形的外心为 $O$，内心为 $I$，外接圆半径为 $R$，内切圆半径为 $r$，那么 $|OI|$的距离

$$d^2=R(R-2r)$$

它的几何证明很漂亮：添几条辅助线，利用相似三角形，几个关键关系就串起来了。我做了一段视频，把这个过程演示了一遍。

这个定理也冠名为“欧拉定理”。不过，当时让我困惑的还有另一件事，在我的印象里，欧拉已经是相当“新”的数学家了。如此初等的关系，为什么还需要欧拉来发现？不说古典的欧几里得，即使是文艺复兴之后，这个定理的发现，竟然还在牛顿、莱布尼茨的微积分之后，在这之前接近100年，伯努利也已经发现了悬链线这样更“高级”的几何问题。

为什么这么多聪明的顶级人类都没发现这样一个经典的（似乎也是很自然会想到）问题。至少，内心、外心这些点的计算，毕竟不需要用到多少技巧，求出两个圆心，再把距离展开。比如下面这种，可以用最直接、最不绕弯、最简单的方法，直接证明这个结论。

展开证明

设非退化三角形

$$A=(0,0),\qquad B=(x,0),\qquad C=(y,z).$$

不妨设 $x>0,z>0$（必要时翻转坐标轴）。记

$$a=|BC|=\sqrt{(x-y)^2+z^2},\qquad b=|CA|=\sqrt{y^2+z^2},\qquad p=a+b+x.$$

这里 $p$ 是周长。

$$b^2=y^2+z^2,\qquad a^2=b^2+x^2-2xy.$$

先算内心 $I=(u,v)$ 和内切圆半径 $r$。

三条边所在直线的方程分别为

$$AB:\ Y=0,\qquad AC:\ zX-yY=0,\qquad BC:\ zX+(x-y)Y-xz=0.$$

内心在三角形内部，到这三条直线的距离都等于 $r$，所以

$$v=r,\qquad zu-yv=br,\qquad xz-zu-(x-y)v=ar.$$

将前两式代入第三式，得到

$$xz=(a+b+x)r=pr.$$

因此

$$\boxed{r=\frac{xz}{p}},\qquad \boxed{I=\left(\frac{x(b+y)}p,\frac{xz}p\right)}.$$

再算外心 $O=(h,k)$ 和外接圆半径 $R$。

由 $OA^2=OB^2$，

$$h^2+k^2=(h-x)^2+k^2 \quad\Longrightarrow\quad h=\frac x2.$$

由 $OA^2=OC^2$，

$$2hy+2kz=y^2+z^2=b^2,$$

故

$$\boxed{O=\left(\frac x2,\frac{b^2-xy}{2z}\right)}.$$

于是

$$\begin{aligned} R^2=OA^2 &=\frac{x^2z^2+(b^2-xy)^2}{4z^2}\\ &=\frac{b^2(b^2+x^2-2xy)}{4z^2}\\ &=\frac{a^2b^2}{4z^2}. \end{aligned}$$

因为各量均为正，

$$\boxed{R=\frac{ab}{2z}},\qquad \boxed{2Rr=\frac{abx}{p}}.$$

最后直接展开 $OI^2$。把 $O,I$ 看成从原点出发的向量，则

$$OI^2=|O|^2-2O\cdot I+|I|^2.$$

其中 $|O|^2=R^2$，而

$$\begin{aligned} 2O\cdot I &=\frac{x^2(b+y)+x(b^2-xy)}p\\ &=\frac{bx(b+x)}p. \end{aligned}$$

另一方面，

$$\begin{aligned} |I|^2 &=\frac{x^2\bigl((b+y)^2+z^2\bigr)}{p^2}\\ &=\frac{2bx^2(b+y)}{p^2}. \end{aligned}$$

注意下面这个纯代数恒等式：

$$\begin{aligned} 2x(b+y) &=(b+x)^2-a^2\\ &=(b+x-a)(b+x+a)\\ &=(b+x-a)p. \end{aligned}$$

因此

$$|I|^2=\frac{bx(b+x-a)}p.$$

全部代回去：

$$\begin{aligned} OI^2 &=R^2-\frac{bx(b+x)}p +\frac{bx(b+x-a)}p\\ &=R^2-\frac{abx}p\\ &=\boxed{R^2-2Rr}. \end{aligned}$$

算完以后，一堆中间变量恰好消掉，留下的只有 $R^2-2Rr$。牛顿当然知道可以求出内心、外心的坐标，也知道可以计算它们之间的距离。难的是，在与顶点坐标纠缠的式子里，“注意到”那些坐标、向量全部都消掉了，距离最终竟能只需要两个半径表达，所需要的“注意力”是惊人的。至少于我，如果不是已知结论，我是绝对不会尝试把 7、8 个未知数的 2 次多项式、根式强行展开，然后期待得到一个优美的结论。

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而现在，AI 已经表现出了这样惊人的“注意力”。我随手翻了翻 OpenAI 公布的论文，一篇是 Hellinger猜想（我只是知道 Hellinger distance，看到熟悉的词就点进去了）。证明我完全不可能看懂，大概认识几个符号，只知道用到了指数函数的 40 阶展开，还有伯恩斯坦多项式（我教贝塞尔曲线，所以这个公式大概还能看懂），里面大概有上万项，AI 能精确地算下来，还能恰好把一个数夹在 2.04 和 2.041 之间。能从这么一大堆计算里找到有用的关系，这种“注意力”已经足够让所有人吃惊。另一篇是 论文249，第三页我还以为是两个类似 SIFT、ResNet 这种经典论文，结果 AI 把 1981 年（被引30次）和 1982 年（被引6次）的两篇工作中的思想连来，用在一个新的论证里。

数学毋庸置疑是关于计算/推理、归纳和抽象的学问。计算、推理自不必多说，电脑早就比人脑强；而牛顿能从行星运动、开普勒定律中归纳出万有引力、F=ma这样更底层的机制，伽罗瓦能在研究多项式方程的可解性时，抽象出群与对称性的思想，这些归纳和抽象的能力，曾经让我觉得是人类智力最了不起的地方。 如今，从繁杂的计算里见微知著地归纳出关系，从不同的文献里天马行空地抽象出共同的结构，AI 也已经展更强大的归纳和抽象的能力。 甚至是提出问题、定义问题，我也相信 AI 能够做得很好。

那么，人类还有必要学习和研究数学吗？最近我有一些朦朦胧胧的想法：

即使 AI 做数学远超人类，也仍然必要，甚至现在是学数学最好的时代

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其一，是从获取知识中带来的多巴胺。

前几年，我有一段时间对离散外微积分（Discrete Exterior Calculus）感兴趣，就结合着 mesh 处理，自学了一门课。最让我激动的，是发现连续的流形与离散的网格，竟然可以用相似的语言描述表面几何性质，并且这种代数表达还有很简洁的矩阵形式。

比如，同一套外微积分语言下的几个表达：

$$\begin{aligned} \text{标量场的梯度}\quad & \nabla\phi=(d\phi)^\sharp \\[0.8em] \text{向量场的旋度}\quad & \nabla\times X=(\star dX^\flat)^\sharp \\[0.8em] \text{向量场的散度}\quad & \nabla\cdot X=\star d\star X^\flat \\[0.8em] \text{Laplace–Beltrami 算子}\quad & \Delta_M f=\operatorname{div}_M(\nabla_M f)=\star d\star df \\[0.8em] \text{梯度场的旋度}\quad & \nabla\times\nabla\phi=(\star d^2\phi)^\sharp=0 \\[0.8em] \text{旋度场的散度}\quad & \nabla\cdot(\nabla\times X)=\star d^2(X^\flat)=0 \end{aligned}$$

甚至给定一个 mesh，把网格几何、离散方式和边界处理确定下来，这些 DEC 算子就都有固定、确定的矩阵表示。外微分 $d$、Hodge star $\star$ 都对应具体的矩阵，组合起来的算子也就对应矩阵的组合。换一个输入的函数，算子矩阵并不用重新构造，做一次矩阵乘法，就能得到这个函数对应的计算结果。

这种拨开云雾见月明的感觉让人沉醉，而有了 AI，这种体验得到了前所未有的改善。过去抓破脑袋也没人帮忙，google也不懂，现在可以直接问，让他画图，让他写一个 little bunny 的测试程序，真有了那种感觉：“哪里不会点哪里，妈妈再也不用担心我的学习！So easy！”

其二，是对美的追求。

一些技术性的证明，展开以后十分繁复。我总忍不住猜想：在更合适的空间、更恰当的语言里，它们会不会对应着某种简单的结构或对称性？

人类的直觉很大程度上来自三维世界，对于更高维空间中的结构与对称性，往往很难形成直观的图景。也许有些看起来繁复的论证，换一种语言、放到更合适的空间里，就会变得清楚。再大胆想一点：会不会 AI 已经抓住了某种我们尚不能直观理解的结构，却只能借助我们读得懂的符号，把它一步步“投影”出来？

想象一只只理解二维世界的蚂蚁。我们把一个不断转动的立方体的顶点和棱投影在纸上，它看到的是一些来回移动的点、时长时短的线段，有时还会重叠。为了弄清这些变化，它也许要记录每个点的坐标，列出许多关系式，再分情况讨论。可我们站在纸外，看见的不过是一个立方体在转动。那些在平面上显得复杂的关系，在三维空间里，原来有一个如此简单的解释。（实际上从对火星、水星运行轨迹的研究，我们人类也并不比蚂蚁要高明。）

也许某些让我们觉得繁复的证明，在 AI 那里，也只是“一个立方体在转动”。得到答案之后，依然有很多值得做的事，寻找更好的定义、更短的证明，以及一个真正能被理解的解释。无论如何，都是大爆发的黎明。

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AI 的另一个优点，是技术平权。即使是前沿模型，普通人也有机会用上；此外，还有不少开源模型和价格很低的订阅。上面的动画视频，就是用 DeepSeek Harness 和 3 块钱的 token 做出来的——这 3 块钱还是送的。以前倒也不是做不了，只是要投入多少时间和精力、补上多少技术栈，想想就觉得麻烦，何况，我对背后的技术栈并不关心。

另一方面，许多过去需要专业背景、长期训练，甚至团队协作才能尝试的事情，现在更多人也能借助 AI 动手做起来。有人因为原有的知识和技能壁垒被打破而紧张，也有人担心自己会被 AI 取代。我倒觉得，很多时候，取代人的只有人。

这也让我想到马克思在《哥达纲领批判》中对平等的讨论：人的能力和生活条件本来就有差异，采用同一个尺度，并不会自动带来实质上的公平。放到今天，人的智力、出身和教育背景，有很多是自己无法选择的。而一个超出所有人类智能的 AI 让大部分差异都被抹平，让原本受这些条件限制的人，也能多一些尝试的机会。

在这样的变化里，我觉得人的品格会变得更重要。是否保持对世界的好奇，是否愿意承认自己不懂，遇到困难有没有耐心，失败以后还有没有再试一次的韧性，以及做事是否诚实、是否愿意承担责任。品格不是聪明人一出生就注定的，他需要在后天的磨难中淬砺而成。

所以，现在不仅是学数学最好的时代，更是踏实做人、诚实劳动最好的时代。